到了现代社会，纸的作用不拘泥于刚发明出来时的简单记录数据，而更应用于社会活动的各个领域，纸的种类也变得越来越多种多样。比如用于包装的牛皮纸，玻璃纸，瓦楞；用于印刷的铜版纸，新闻纸；用于学习办公的复写纸，打印纸；亦包括生活中使用的餐巾纸，湿巾；还有专门用于折纸艺术的手揉纸，铝箔纸等等等等。
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纸的对折
关于纸的一个误区就是网络上所传的一张纸最多只能对折8次的问题，随着这个传言被实验证伪之后，网络上的传言就又变成了9次，10次……为了彻底粉碎此类传言，我们不加证明的给出一个结论：
这里我们认为一张纸是可以折叠的当且仅当其长度大于等于其厚度的两倍。这里设纸的厚度为0.1mm，那么一张5cm的餐巾纸可以对折五次。而如果要对折八次，则需要3.4米的长纸，且仍然非常薄才行，这就超出了一般人验证的范畴。其实我们可以定性的看出每对折一次，长度减半且厚度加倍。所以想在原有的基础上再对折一次的话就必须另纸的长度为原来的四倍才行。当然你可以选择先左右折再前后折，不过这样并不会使得可以对折的次数加倍，长度与n的关系是2的3n/2次方而不是这里的2n次方（不妨留给有兴趣的同学研究）这里主要是想说明任意次对折都是存在的。不过虽然网传一张纸折叠一百次会到达月球也是事实，小编猜测，应该没有人会去尝试吧。
03
几个折纸几何学公理的简介
说到翻折和数学的关系，最让人印象深刻的便是中考时候的选择与填空压轴题，那可爱的变换让人神魂颠倒不能自拔。但在这里我们不谈这么花（ke）里（li）胡（ke）哨（qi）的玩意儿，我们来进一步的研究一些更加本质的东西。
公理1过任意两点可以折一条直线，这我们在折正方形对角线中会用到，不过在折对角线时，我们更多的会使用公理2。
公理2两点可以重合对折，且折痕是两点连线的垂直平分线。
公理3两线可以重合对折。 两条相交线时，折痕是两线夹角的平分线；两线平行时，折痕与之平行且三平行线之间距离相等，对于一个矩形，想折出45度角的话就得用这招。
公理4一条直线自身重合对折可以让折痕过一已知点，且折痕是该直线的垂线。
公理5已知两点和一条直线，可以将其中一点折到已知直线上且让折痕通过另一个已知点。
公理6已知两点和两条相交线，可以将一点折到一条直线上同时让另一点落在另一条直线上。
有趣的是，公理5的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。
公理6则更神奇，把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！
一组限定条件能同时产生三个解，这让公理6变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出公理6有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！
（以上转自果壳）
这样子的话，我们就可以利用以上的公理来做一些欧几里得几何做不到的事情，比如说立方倍积（实质上是作出2开三次根），比如说三等分角。
先不说那么难的，我们从头说起。
04
折纸原理在数学上的运用
任意等分线段
1
首先左右对折、对角线对折得到折痕。再沿A点和中点对折得到折痕，两折痕的交点即为三等分点（如上图）。
在得到三等分点之后进一步操作可得四等分点，这样一直操作下去可以得到任意n等分，对n等分再做（n-2）次对折可以得到所有的n等分线，也就意味着可以取到所有的（0，1）之间的有理数。当然，也可以这样子用有理数去逼近无理数，就像我们证Cauchy方程用的那样。
另一种做法，如下图，以n=7为例。由于7可表示为2的三次方减1，而2的整数次方在折纸中是容易的。所以先八等分，然后将左下角翻转到第七条线上，剩下的六条线会和底边有六个交点，那就是我们所要的七等分点。这种方法先从2的n次方归纳到无穷，再从大往小归纳，非常巧妙。
2
三等分角
这个问题在公元前四世纪时候提出，两千年来无人能解，毕竟他本来就无解，但这也是近现代才有的结论。可折纸就比较牛逼了，他做得到。
由于图比较难做加之解释起来也比较烦，所以在这里直接给出三等分角的图示（如上图所示）。
这个结论对钝角三角形也适用，不过要做出一点改变：
立方倍积
3
这里只要做出2开三次根号就行了。还记得上面说的第六条公理吗，对公理六做一点应用，构造出三次根号二为一个根的方程就可以了。
如上图所示，将一个正方形纸做三等分（方法上面已经提到，为了精度其实也可以用尺子量）之后将右下角的点翻到左边沿，将右下的三等分点翻到第一条三等分线上。这样子就可以得到所求结果。
4
圆锥曲线
在大家的印象中，折纸所留下的折痕都是直线。诚然，这是折纸操作的局限性，但这并不意味着在折纸中就不能构造出曲线图形。在这里，根据圆锥曲线特有的线段比例关系，我们尝试通过若干次直线逼近，在一张纸上描绘出圆锥曲线的图像。
（1）、抛物线
抛物线的定义是到平面上到定点和定直线距离相同的点的轨迹。
我们取一张矩形的纸，其上取一点（取在正中间更加美观）。然后将通过折叠不断的使这个点落在底边上，重复该步骤二十到三十次。之后就可以看到清晰的抛物线图像（如上图，小编也是亲手操作了哦）。容易说明，所有的折痕构成的包络面就是抛物线。
（2）、椭圆
同样的思路，构造椭圆我们需要两根线的长度之和为定值。此时矩形纸片已经不能满足我们的需要，我们考虑一张圆形纸片，找出圆心。之后再在纸片上任取一点。然后不断的折叠使该点落在圆周上，重复好多好多次之后，折痕构成的包络面就是一个椭圆，圆心和所取的圆内一点是该椭圆的半径。
(3)、双曲线
这里我们仍然一张矩形纸，取矩形的中心。然后在纸的一边材一个半圆。之后就把中心的点不断的折叠到圆形的边上，就可以得到双曲线的一支。
05
现代折纸
现代折纸是使用一张纸，不剪不裁不粘，折出各种不同的形状的艺术活动。
现代折纸变化多样，种类繁多，鉴于本人能（liu）力（liang）有限无法多加介绍，大家如有兴趣，可以进一步研究。
当然折纸的应用不限于此，越来越多的折纸产品应用于工业生产，如空间航行中太阳能电池板的折叠，DNA折纸技术等等，都是折纸在现代技术中发挥重要作用的例证。我们也有理由相信，现代折纸会有更多的应用空间在等待人类的发现。
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本文内容为学术部 劢 （笔名）原创
第三部分转自果壳网，图片和部分文字来自网络
现在是第6期
图文：学术部 劢
编辑：网络媒体部 白鹿返回搜狐，查看更多